Duração e convexidade: como os juros mudam o preço de um título

Por que preço e taxa costumam andar em direções opostas

O preço de um título é o valor presente dos pagamentos futuros. Esses pagamentos são descontados por uma taxa. Quando a taxa exigida sobe, o desconto aumenta e o valor presente cai. Quando a taxa cai, o valor presente sobe.

Essa relação é a base da marcação a mercado. Mesmo que o emissor continue pagando conforme o contrato, o preço de saída antes do vencimento pode mudar porque o mercado passou a exigir outra remuneração para fluxos semelhantes.

Duração de Macaulay e duração modificada

Frederick Macaulay introduziu em 1938 uma medida que resume o tempo econômico dos fluxos de um título. A duração de Macaulay é uma média dos prazos de cada pagamento, ponderada pelo valor presente desses pagamentos. Ela não é simplesmente o tempo até o vencimento.

A duração modificada transforma essa ideia numa aproximação de sensibilidade. Para um pequeno choque de taxa, a variação percentual do preço é aproximadamente menos a duração modificada multiplicada pela variação da taxa: ΔP/P ≈ -D × Δy.

Se a duração modificada é 6 e a taxa sobe 0,01, ou um ponto percentual, a aproximação linear indica queda perto de 6% no preço. O exemplo é mecânico e ignora convexidade, mudanças não paralelas na curva e características opcionais do título.

Convexidade: a correção da curvatura

A relação entre preço e taxa não é uma linha reta. Ela tem curvatura. A duração representa a inclinação local; a convexidade mede como essa inclinação muda.

Uma aproximação de segunda ordem acrescenta o termo de convexidade: ΔP/P ≈ -D × Δy + ½ × C × (Δy)², em que C representa a convexidade. Para choques pequenos, o termo quadrático pesa pouco. À medida que o choque cresce, ignorá-lo aumenta o erro.

Títulos tradicionais sem opções costumam ter convexidade positiva: para choques simétricos, o ganho aproximado quando a taxa cai tende a superar a perda quando a taxa sobe na mesma magnitude. Títulos com opções ou fluxos dependentes do comportamento do tomador podem ter outra forma e exigir medidas específicas.

O que aumenta a sensibilidade

Fluxos mais distantes recebem mais peso na sensibilidade porque são descontados por mais tempo. Por isso, vencimentos longos costumam elevar a duração. Cupons menores também deslocam mais valor para o pagamento final e tendem a aumentar a duração.

A taxa corrente importa: mudanças no desconto alteram os pesos dos fluxos. Dois títulos com o mesmo vencimento podem ter durações diferentes por causa do cupom, da amortização e da curva usada para descontar cada pagamento.

A curva de juros raramente se move inteira do mesmo jeito

A aproximação mais simples supõe um deslocamento paralelo: todas as taxas por prazo sobem ou caem na mesma magnitude. Na prática, a ponta curta pode subir enquanto a longa cai, ou o movimento pode se concentrar num trecho.

Fisher e Weil aprofundaram o tratamento da duração usando taxas específicas para diferentes prazos. Abordagens por vértices da curva medem sensibilidades separadas em pontos relevantes. Quanto mais irregular for o fluxo ou o movimento da curva, menos uma única duração resume o risco.

Onde a aproximação deixa de ser defensável

Duração e convexidade são aproximações locais. Choques muito grandes, títulos com opções, indexadores complexos, fluxos incertos ou dados incompletos podem exigir reprecificação integral por cenário.

Antes de aceitar uma estimativa, confira a origem dos fluxos, a convenção da taxa, a unidade do choque, o prazo, o cupom, as amortizações e a curva de referência. Usar 1% quando a fórmula espera 0,01 é um erro de cem vezes; misturar taxas anuais e mensais também invalida o resultado.